TP 2- Conditionnement et Décomposition PA=LU¶

Analyse Numérique Matricielle¶

Polytech SU¶

In [1]:
import numpy as np
from scipy.linalg import hilbert
import matplotlib.pyplot as plt

def tri_inf(matrice, vecteur):
    n = len(vecteur)
    x = np.zeros(n)

    for i in range(n):
        x[i] = (vecteur[i] - np.dot(matrice[i][:i], x[:i])) / matrice[i][i]

    return x

def tri_sup(matrice, vecteur):
    n = len(vecteur)
    x = np.zeros(n)

    for i in range(n-1, -1, -1):
        x[i] = (vecteur[i] - np.dot(matrice[i][i+1:], x[i+1:])) / matrice[i][i]

    return x

Exercice 1¶

Soit

$$ A=\begin{pmatrix} \epsilon &1\\1&10 \end{pmatrix}. $$
  1. Calculer à la main les deux décompositions $PA=LU$ de $A$.
  1. Dans chacun des cas, pour $\epsilon = 10^{-2},10^{-3},10^{-4},10^{-5}$, calculer les conditionnements de U et de L. Les réprésenter sur un graphique. On pourra utiliser la fonction cond de linalg.
In [ ]:
  1. On prend maintenant $\epsilon = 10^{-3}$. Utiliser la fonction lude linalg. Que constatez-vous?
In [ ]:
  1. On considère maintenant $b = \begin{pmatrix}2 \\2 \end{pmatrix}$. Résoudre $Ax = b$ à l'aide des deux décompositions précédentes. On utilisera les fonctions tri_inf et tri_sup. Comparer avec la vraie solution $x_{true} = \frac{1}{10\epsilon -1} \begin{pmatrix} 18 \\ 2\epsilon -2\end{pmatrix}$ pour $\epsilon = 10^{-2},10^{-3},10^{-4},10^{-5}$. On tracera les erreurs sur un même graphique.
In [ ]:

Exercice 2.¶

Coder la fonction qui renvoie la décomposition $PA = LU$ d'une matrice $A$. Attention, bien faire attention à prendre le coefficient avec la plus grande valeur absolue à chaque étape. On pourra s'aider des fonctions np.abset np.argmax. Comparer avec le résultat obtenu avec la fonction lu.

In [ ]: