import numpy as np
from scipy.linalg import hilbert
import matplotlib.pyplot as plt
for
.On considère la matrice de Hilbert $ H^{[n]} \in M_n(\mathbb{R}) $ définie pour tout $n \geq 1$ par $$ H^{[n]}_{ij}=\frac{1}{i+j-1},\, 1\leq i,j\leq n. $$
for
.# 1. Construire la matrice H^{[5]}
numpy.linalg.cond
. Visualisez le résultat en échelle semilogarithmique en $ y $ (à l'aide de la fonction matplotlib.pyplot.semilogy
). La matrice $ H^{[n]} $ est-elle bien ou mal conditionnée selon vous ?# 2. Calculer Cond(H^{[n]}) pour la norme \Vert\cdot\Vert_2 et visualiser
# 3. Répéter avec Id+H^{[n]}
On considère la matrice de Vandermonde $$A=\begin{pmatrix} y_1^{n-1}&\dots&y_1^2&y_1&1\\ \vdots&\vdots&y_2^2&y_2&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y_n^{n-1}&\dots&y_n^2&y_n&1 \end{pmatrix},$$ où les points $y_1,\dots,y_n$ sont équirépartis sur $[0,1]$. Cette matrice peut être construite en Python à l'aide des fonctions suivantes :
y = np.linspace(0, 1, n)
A = np.vander(y, increasing=True)
On souhaite résoudre le système linéaire $Ax=b$ où $$b=\begin{pmatrix} 1+y_1^2\\\vdots\\1+y_n^2 \end{pmatrix}.$$ La solution exacte est connue et vaut $x=(0,\ldots,0,1,0,1)^T$.
numpy.linalg.solve
. On note $x_c$ la solution obtenue. Evaluer l'erreur relative $\epsilon_{n} = \frac{\| x_{c} - x\|}{\|x\|}$ pour $n=4$.### 1. Résoudre le système linéaire pour \( n = 4 \) et évaluer l'erreur relative :
import numpy as np
numpy.finfo(float).eps
. Une borne supérieure de l'erreur relative $\epsilon_{n}$ est donnée par
$$
\eta_{n} = \text{Cond}(A) \mathbf{eps} .
$$
Comparer l'erreur relative $\epsilon_{n}$ calculée précédemment avec la borne obtenue $\eta_{n}$ pour $n=4$.### 2. Comparer l'erreur relative avec la borne pour \( n = 4 \):
matplotlib.pyplot.loglog
et l'autre en échelle semilogarithmique à l'aide de la fonction matplotlib.pyplot.semilogy
. Quel type de croissance de l'erreur $\epsilon_n$ observe-t-on ? Est-ce que le résidu $r_n$ est un bon indicateur de l'erreur $\epsilon_n$ ? Et $\eta_n$ ?### 3. Répéter pour \( n=4,6,8,\ldots,20 \) et visualiser les erreurs:
numpy
.(b) Répéter le point $3.$ pour cette matrice avec $b=(2,2,\ldots,2)^T$ pour $n=5,10,\ldots,100$. Commenter les résultats obtenus.
### 4. Matrice et visualisation pour une nouvelle matrice
#(a) Construction de la matrice :
# (b) Répéter le point 3 :